什么叫“母题”：一个模型 = 一类题的公共骨架。母题会了，同族的变式都能推。
用法：先看“题眼”能不能一眼认出来，再看“通法”是不是闭着眼能走完。认不出眼，就得回去补这一节。
代表题号取自公开整理的高考真题库（新课标 I 卷为主）。
1. 高一上练“式与函数”：一切先化成集合、函数、三角式；
2. 高一下练“形与数”：向量、复数、立体、统计概率——重在图与量的互译；
3. 高二练“关系与最优”：数列的递推、曲线的位置关系、导数的单调与最值——重在对含参的分类讨论。
共 27 题，每题对应一个母题模型；建议 90 分钟，做完对着“母题地图”标出没认出来的模型。
题目来源：公开整理的高考数学真题（新课标 I 卷为主），仅供自用练习。
1.（集合运算（不等式做背景）） 已知集合 $M=\{-2, -1, 0, 1, 2\}$，$N = \{x | x^2 - x - 6 \ge 0\}$，则 $M \cap N = (\quad)$
2.（充分必要条件） 已知 $a \in \mathbf{R}$，若集合 $M=\{1, a\}$，$N=\{-1, 0, 1\}$，则“$a=0$”是“$M \subseteq N$”的 (\quad)
3.（一元二次/分式不等式） 设 $x \in \mathbf{R}$，使不等式 $3x^2 + x - 2 < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围为_______。
4.（基本不等式求最值） 下列函数中最小值为 4 的是 （ ）
5.（指对数比大小） 设 $a=\log_{0.2}0.3$，$b=\log_2 0.3$，则
6.（函数性质综合（奇偶+周期）） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上且周期为 $2$ 的偶函数，当 $2\leqslant x\leqslant 3$ 时，$f(x)=5-2x$，则 $f(-\dfrac{3}{4})=$
7.（三角恒等变换求值） 已知 $\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{3}, \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{6}$，则 $\cos(2\alpha + 2\beta) = $（ ）
8.（y=Asin(ωx+φ) 的图象与性质） 若点 $(a,0)$ ($a>0$) 是函数 $y=2\tan(x-\dfrac{\pi}{3})$ 的图象的一个对称中心，则 $a$ 的最小值为
9.（图象交点与零点个数） 当 $x \in [0, 2\pi]$ 时，曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的交点个数为（ ）
10.（解三角形） 已知在△ABC中，$A + B = 3C$，$2\sin(A - C) = \sin B$。 (1)求$\sin A$； (2)设$AB = 5$，求$AB$边上的高。
11.（向量基底分解） 在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在边 $AB$ 上，$BD = 2DA$．记 $\overrightarrow{CA} = \vec{m}$，$\overrightarrow{CD} = \vec{n}$，则 $\overrightarrow{CB} = $ ( )
12.（向量数量积（模/垂直/夹角）） 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，$|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=1$，则 $|\vec{a}+2\vec{b}|=$ _____.
13.（复数运算与共轭、模） 设复数 $z_1, z_2$ 满足 $|z_1|=|z_2|=2$，$z_1+z_2=\sqrt{3}+\text{i}$，则 $|z_1-z_2|=$________．
14.（空间几何体表面积与体积） 已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$, 其侧面展开图为一个半圆, 则该圆锥的母线长为 ( )
15.（位置关系判定（线面/面面）） 设 $\alpha, \beta$ 为两个平面，则 $\alpha \parallel \beta$ 的充要条件是（ ）
16.（统计量（中位数/方差/标准差）） 有一组样本数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$，由这组数据得到新样本数据 $y_1, y_2, \cdots, y_n$，其中 $y_i=x_i+c\ (i=1,2,\cdots,n)$，$c$ 为非零常数，则（ ）
17.（古典概型） 从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（ ）
18.（等差/等比数列基本量） 记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_3 = 6, S_5 = -5$，则 $S_6 =$（ ）
19.（Sₙ 与 aₙ 互化） 记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1, \left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列．
(1)求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
(2)证明：$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} < 2$．
20.（圆锥曲线性质与离心率） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_1, F_2$，过 $F_2$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $|F_1A|=13, |AB|=10$，则 $C$ 的离心率为_________．
21.（直线与圆（切线、弦长）） 过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^2+y^2-4x-1=0$ 相切的两条切线的夹角为 $\alpha$，则 $\sin\alpha = $（ ）
22.（导数与切线方程） 若直线 $y = 2x + 5$ 是曲线 $y = \text{e}^x + x + a$ 的切线，则 $a =$ _______.
23.（导数研究单调性与极值） (多选) 已知函数 $f(x)=x^3-x+1$，则（ ）
24.（导数恒成立求参数） 已知函数 $f(x)=\ln\dfrac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3$。
(1)若 $b=0$，且 $f'(x)\ge 0$，求 $a$ 的最小值；
(2)证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形。
25.（二项式展开求系数） 在二项式 $(2x-1)^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数为 $\text{\underline{\quad\quad\quad\quad}}$.
26.（分布列与数学期望） 一个箱子里有 5 个球，分别以 1~5 标号，若有放回抽取三次，记至少取出一次的球的个数 $X$，则 $E(X) =$ _______.
27.（独立性检验） （13分） 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 1000 人，得到如下的列联表： | | 正常 | 不正常 | 合计 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 患该疾病 | 20 | 180 | 200 | | 未患该疾病 | 780 | 20 | 800 | | 合计 | 800 | 200 | 1000 | （1）记超声波检查结果不正常者患有该疾病的概率为 $p$，求 $p$ 的估计值； （2）根据小概率值 $\alpha = 0.001$ 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附：$\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ | $P(\chi^2 \geqslant k)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
1. C（集合运算（不等式做背景）｜2023）
【思路】 先解不等式求出集合 $N$，再与有限集 $M$ 求交集。 【解答】 由 $x^2-x-6 \ge 0$ 得 $(x-3)(x+2) \ge 0$，所以 $N=(-\infty,-2] \cup [3,+\infty)$。 又 $M=\{-2,-1,0,1,2\}$，故 $M \cap N = \{-2\}$。故选C。
2. A（充分必要条件｜2020）
【思路】 判断充分性和必要性：先看 $a=0$ 是否能推出 $M \subseteq N$，再看 $M \subseteq N$ 时 $a$ 是否只能为 $0$。 【解答】 当 $a=0$ 时，$M=\{1,0\}$，$N=\{-1,0,1\}$，显然 $M \subseteq N$，充分性成立。 若 $M \subseteq N$，则 $a \in N$，且 $a \neq 1$，所以 $a=0$ 或 $a=-1$，必要性不成立。 因此“$a=0$”是“$M \subseteq N$”的充分不必要条件。故选A。
3. (-1, \frac{2}{3})（一元二次/分式不等式｜2019）
【思路】 将二次三项式因式分解，利用一元二次不等式的解法求范围。 【解答】 由 $3x^2+x-2<0$ 得 $(x+1)(3x-2)<0$，解得 $-1<x<\frac{2}{3}$，所以 $x$ 的取值范围是 $(-1,\frac{2}{3})$。故填 $(-1,\frac{2}{3})$。
4. C（基本不等式求最值｜2021）
【思路】 分别利用二次函数、基本不等式和对数函数性质判断各选项的最小值，注意基本不等式取等条件及变量的取值范围。 【解答】 对于 A，$y=x^2+2x+4=(x+1)^2+3\ge 3$，当 $x=-1$ 时取等号，最小值为 3，不符合。 对于 B，令 $t=|\sin x|$，则 $t\in(0,1]$，$y=t+\frac{4}{t}$。由对勾函数性质，$y$ 在 $(0,1]$ 上单调递减，故 $t=1$ 时取最小值 $5$，不符合。 对于 C，$y=2^x+2^{2-x}=2^x+\frac{4}{2^x}\ge 2\sqrt{2^x\cdot\frac{4}{2^x}}=4$，当且仅当 $2^x=\frac{4}{2^x}$，即 $x=1$ 时取等号，最小值为 4，符合。 对于 D，当 $\ln x<0$ 时，$y=\ln x+\frac{4}{\ln x}<0$，最小值小于 4，不符合。 故选 C。
5. B（指对数比大小｜2018）
【思路】 利用换底公式将 $\frac1a$ 和 $\frac1b$ 化为同底对数，判断 $\frac{a+b}{ab}$ 的范围，再结合 $a,b$ 的符号确定大小关系。 【解答】 由换底公式， \[ \frac1a=\log_{0.3}0.2,\quad \frac1b=\log_{0.3}2, \] 所以 \[ \frac1a+\frac1b=\log_{0.3}0.2+\log_{0.3}2=\log_{0.3}0.4. \] 因为 $0<0.3<1$，$0<0.4<1$，所以 $\log_{0.3}0.4>0$；又 $0.4<1$，底数 $0.3<1$，故 $\log_{0.3}0.4<\log_{0.3}0.3=1$。因此 \[ 0<\frac1a+\frac1b<1,\quad 即\ 0<\frac{a+b}{ab}<1. \] 又 $a=\log_{0.2}0.3>0$，$b=\log_2 0.3<0$，所以 $ab<0$。由 $\frac{a+b}{ab}>0$ 且 $ab<0$，得 $a+b<0$，从而 $ab<a+b<0$。 故选 B。
6. A（函数性质综合（奇偶+周期）｜2025）
【思路】 利用偶函数和周期为 2 的性质，将 $f(-\frac{3}{4})$ 转化为已知区间 $[2,3]$ 上的函数值。 【解答】 因为 $f$ 是偶函数，所以 $f(-\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4})$。又周期为 2，所以 $f(\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4}+2)=f(\frac{11}{4})$。由于 $2\le \frac{11}{4}\le 3$，故 $f(\frac{11}{4})=5-2\times\frac{11}{4}=5-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$。故选 A。
7. B（三角恒等变换求值｜2023）
【思路】 由已知差角正弦公式可先求出 $\sin\alpha\cos\beta$，进而得到 $\sin(\alpha+\beta)$，再利用二倍角公式求 $\cos(2\alpha+2\beta)$。 【解答】 由 $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac13$，且 $\cos\alpha\sin\beta=\frac16$，得 $\sin\alpha\cos\beta=\frac13+\frac16=\frac12$。于是 $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac12+\frac16=\frac23$。所以 $\cos(2\alpha+2\beta)=\cos[2(\alpha+\beta)]=1-2\sin^2(\alpha+\beta)=1-2\times\left(\frac23\right)^2=1-\frac89=\frac19$。故选B。
8. B（y=Asin(ωx+φ) 的图象与性质｜2025）
【思路】 正切函数的对称中心满足 $x-\frac{\pi}{3}=\frac{k\pi}{2}$，解出 $a$ 后取最小正值。 【解答】 由题意，$a-\frac{\pi}{3}=\frac{k\pi}{2}$（$k\in\mathbb{Z}$），所以 $a=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}$。因为 $a>0$，当 $k=0$ 时取得最小值 $\frac{\pi}{3}$。故选 B。
9. C（图象交点与零点个数｜2024）
【思路】 两函数均为周期函数，可通过分析每个周期内交点的个数来计数。 【解答】 $y=\sin x$ 的周期为 $2\pi$，$y=2\sin(3x-\frac{\pi}{6})$ 的周期为 $\frac{2\pi}{3}$。在 $[0,2\pi]$ 上，后者有 3 个完整周期。在同一坐标系中画出两函数图像，观察每个 $\frac{2\pi}{3}$ 周期内，两曲线均有 2 个交点，共 $3\times 2=6$ 个交点。故选 C。
10. (1) $\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ (2) $6$（解三角形｜2023）
【思路】 （1）由 $A+B=3C$ 结合内角和求 $C$，再用 $B=\pi-(A+C)$ 将条件化为关于 $A$ 的三角方程，解出 $\sin A$。（2）用正弦定理求边，再用面积或边角关系求 $AB$ 边上的高。 【解答】 （1）由 $A+B=3C$ 及 $A+B+C=\pi$，得 $4C=\pi$，故 $C=\frac{\pi}{4}$。又 $B=\pi-(A+C)$，所以 $\sin B=\sin(A+C)$。条件 $2\sin(A-C)=\sin B$ 化为 $2\sin(A-C)=\sin(A+C)$。展开得 $2(\sin A\cos C-\cos A\sin C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$，整理得 $\sin A\cos C=3\cos A\sin C$。因 $\cos C=\frac{\sqrt2}{2}\ne 0$，且 $A$ 为三角形内角，$\cos A\ne 0$，两边除以 $\cos A\cos C$ 得 $\tan A=3$。由 $\sin^2 A+\cos^2 A=1$ 及 $\tan A=3$，得 $\sin A=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。 （2）由正弦定理，$\frac{AB}{\sin C}=\frac{5}{\sin\frac{\pi}{4}}=5\sqrt2$。由 $B=\pi-(A+C)=\frac{3\pi}{4}-A$，得 $\sin B=\sin(\frac{3\pi}{4}-A)=\frac{\sqrt2}{2}(\cos A+\sin A)$。由（1）$\sin A=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\cos A=\frac{\sqrt{10}}{10}$，故 $\sin B=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{4\sqrt{10}}{10}=\frac{2\sqrt5}{5}$。于是 $AC=\frac{AB}{\sin C}\cdot\sin B=5\sqrt2\cdot\frac{2\sqrt
11. B（向量基底分解｜2022）
【思路】 由 $BD=2DA$ 得 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}$，用起点 $C$ 的向量表示，解出 $\overrightarrow{CB}$。 【解答】 因为 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}$，所以 $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=2(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CD})$，即 $\vec{n}-\overrightarrow{CB}=2(\vec{m}-\vec{n})$，整理得 $\overrightarrow{CB}=3\vec{n}-2\vec{m}=-2\vec{m}+3\vec{n}$。故选B。
12. $2\sqrt{3}$（向量数量积（模/垂直/夹角）｜2017）
【思路】 利用向量模的平方等于向量的平方，将 $|\vec{a}+2\vec{b}|$ 转化为数量积运算，先求 $\vec{a}\cdot\vec{b}$，再开方。 【解答】 由题意，$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos60^\circ=2\times1\times\frac12=1$。 则 \[ |\vec{a}+2\vec{b}|^2=(\vec{a}+2\vec{b})^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2=4+4+4=12, \] 所以 $|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。 故填 $2\sqrt{3}$。
13. $2\sqrt{3}$（复数运算与共轭、模｜2020）
【思路】 利用复数模的恒等式 $|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)$，由已知条件直接求出 $|z_1-z_2|$。 【解答】 由 $|z_1|=|z_2|=2$，得 $|z_1|^2=|z_2|^2=4$。又 $z_1+z_2=\sqrt{3}+\text{i}$，所以 $|z_1+z_2|^2=(\sqrt{3})^2+1^2=4$。 根据恒等式 $|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)$，代入得 $4+|z_1-z_2|^2=2(4+4)=16$，故 $|z_1-z_2|^2=12$，所以 $|z_1-z_2|=2\sqrt{3}$。 故填 $2\sqrt{3}$。
14. B（空间几何体表面积与体积｜2021）
【思路】 圆锥侧面展开图是半圆，其弧长等于圆锥底面圆的周长，由此建立方程求母线长。 【解答】 设圆锥的母线长为 $l$。侧面展开图是半圆，弧长为 $\pi l$；圆锥底面圆的周长为 $2\pi \times \sqrt{2}$。由弧长等于底面周长，得 $\pi l = 2\pi \sqrt{2}$，解得 $l = 2\sqrt{2}$。故选B。
15. B（位置关系判定（线面/面面）｜2019）
【思路】 根据面面平行的判定定理和性质定理，逐一判断各选项是否为充要条件。 【解答】 A 中无数条直线若互相平行，则两平面可能相交，故不是充分条件；B 中由面面平行的判定定理，$\alpha$ 内两条相交直线平行于 $\beta$ 可推出 $\alpha\parallel\beta$，反之由面面平行的性质也成立，故 B 正确；C 中平行于同一条直线的两个平面可能相交；D 中垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行。 故选 B。
16. CD（统计量（中位数/方差/标准差）｜2021）
【思路】 利用数据平移的性质：平均数和中位数都加c，标准差和极差不变。 【解答】 因为 $y_i=x_i+c$，所以新数据的平均数 $\overline{y}=\overline{x}+c$，中位数也为原中位数加c，故A、B错误。 标准差反映数据离散程度，平移不改变离散程度，故 $s_y=s_x$，C正确。 极差为最大值减最小值，$y_{\max}-y_{\min}=(x_{\max}+c)-(x_{\min}+c)=x_{\max}-x_{\min}$，故D正确。 故选CD。
17. D（古典概型｜2022）
【思路】 从7个数中任取2个的总数为 $C_7^2$。互质数对不易直接数，可先数不互质的数对，再用总数减去。 【解答】 从2至8的7个整数中任取2个不同的数，共有 $C_7^2=21$ 种取法。 不互质的数对有：$(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)$，共7种。 所以互质的数对有 $21-7=14$ 种，所求概率 $P=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$。 故选 D。
18. B（等差/等比数列基本量｜2025）
【思路】 设等差数列首项为a₁，公差为d，由S₃和S₅列出方程组求出a₁和d，再求S₆。 【解答】 设公差为d，则S₃=3a₁+3d=6，即a₁+d=2；S₅=5a₁+10d=-5，即a₁+2d=-1。解得a₁=5，d=-3。所以S₆=6a₁+15d=30-45=-15。故选B。
**19. (1) $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$
(2)证明见解析**（Sₙ 与 aₙ 互化｜2022）
【思路】 由 $\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是等差数列先求出 $\frac{S_n}{a_n}$ 的表达式，再用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 建立递推关系，累乘求通项；第二问裂项相消证明不等式。 【解答】 (1) 因为 $a_1=1$，所以 $\frac{S_1}{a_1}=1$。又 $\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac13$ 的等差数列，故 $$\frac{S_n}{a_n}=1+(n-1)\cdot\frac13=\frac{n+2}{3},$$ 即 $S_n=\frac{n+2}{3}a_n$。 当 $n\ge2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{n+2}{3}a_n-\frac{n+1}{3}a_{n-1}$，整理得 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$。 累乘得 $$a_n=a_1\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdot\frac{a_3}{a_2}\cdots\frac{a_n}{a_{n-1}}=1\cdot\frac31\cdot\frac42\cdots\frac{n+1}{n-1}=\frac{n(n+1)}2.$$ 当 $n=1$ 时，$a_1=1$ 也满足上式，所以 $a_n=\frac{n(n+1)}2$。 (2) 由 (1) 得 $\frac{1}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)$，所以 $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=2\left(1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac1n-\frac1{n+1}\right)=2\left(1-\frac1{n+1}\right)<2.$$ 故不等式成立。
20. \frac{3}{2}（圆锥曲线性质与离心率｜2024）
【思路】 由过 $F_2$ 且平行于 $y$ 轴的直线与双曲线交于 $A,B$，可求 $|AF_2|$，结合双曲线定义和直角三角形求 $a,c$。 【解答】 设 $A$ 在第一象限，直线 $x=c$ 与双曲线交于 $A\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$，$B\left(c,-\frac{b^2}{a}\right)$，故 $|AB|=\frac{2b^2}{a}=10$，$|AF_2|=\frac{b^2}{a}=5$。由双曲线定义，$|AF_1|-|AF_2|=2a$，即 $13-5=2a$，得 $a=4$。在 $Rt\triangle AF_1F_2$ 中，$|F_1F_2|=\sqrt{|AF_1|^2-|AF_2|^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，所以 $c=6$。故 $e=\frac{c}{a}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。故填 $\frac{3}{2}$。
21. B（直线与圆（切线、弦长）｜2023）
【思路】 将圆化为标准方程，利用切线性质构造直角三角形，求出切线夹角的半角三角函数，再用二倍角公式求夹角正弦。注意两条切线的夹角取锐角。 【解答】 圆 $x^2+y^2-4x-1=0$ 化为 $(x-2)^2+y^2=5$，圆心 $C(2,0)$，半径 $r=\sqrt5$。 设点 $P(0,-2)$，切点为 A，B。则 $|PC|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt2$，$PA\perp CA$，故 $|PA|=\sqrt{|PC|^2-r^2}=\sqrt{8-5}=\sqrt3$。 在直角三角形 $PAC$ 中，$\sin\angle APC=\frac{CA}{PC}=\frac{\sqrt5}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt{10}}4$，$\cos\angle APC=\frac{PA}{PC}=\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt6}4$。 两条切线的夹角 $\angle APB=2\angle APC$，但 $\cos\angle APB=\cos2\angle APC=\cos^2\angle APC-\sin^2\angle APC=\frac68-\frac{10}{16}=-\frac14<0$，故 $\angle APB$ 为钝角，而两条切线的夹角 $\alpha$ 取锐角，所以 $\alpha=\pi-\angle APB$。 因此 $\sin\alpha=\sin\angle APB=\sin2\angle APC=2\sin\angle APC\cos\angle APC=2\times\frac{\sqrt{10}}4\times\frac{\sqrt6}4=\frac{\sqrt{15}}4$。故选 B。
22. 4（导数与切线方程｜2025）
【思路】 设切点坐标，利用切线斜率等于曲线在该点的导数值，以及切点同时在曲线和切线上，建立方程组求 $a$。 【解答】 设切点为 $(x_0, \mathrm{e}^{x_0}+x_0+a)$。曲线 $y=\mathrm{e}^x+x+a$ 的导数为 $y'=\mathrm{e}^x+1$，切线斜率 $k=\mathrm{e}^{x_0}+1$。已知切线 $y=2x+5$ 的斜率为 $2$，故 $\mathrm{e}^{x_0}+1=2$，得 $\mathrm{e}^{x_0}=1$，$x_0=0$。切点坐标为 $(0,1+a)$，代入切线方程 $y=2x+5$ 得 $1+a=5$，所以 $a=4$。故填 $4$。
23. AC（导数研究单调性与极值｜2022）
【思路】 利用导数判断极值点和零点个数，利用函数平移判断对称中心，利用导数几何意义判断切线。 【解答】 $f'(x)=3x^2-1$，令 $f'(x)=0$ 得 $x=\pm\frac{\sqrt3}{3}$，且 $f'(x)$ 在两侧变号，故 $f(x)$ 有两个极值点，A 正确。 极大值 $f\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{2\sqrt3}{9}+1>0$，极小值 $f\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)=-\frac{2\sqrt3}{9}+1>0$，且 $x\to-\infty$ 时 $f(x)\to-\infty$，$x\to+\infty$ 时 $f(x)\to+\infty$，故 $f(x)$ 只有一个零点，B 错误。 令 $g(x)=x^3-x$，则 $g(x)$ 是奇函数，其图像关于原点对称；$f(x)=g(x)+1$ 的图像由 $g(x)$ 向上平移 1 个单位得到，故 $f(x)$ 的图像关于点 $(0,1)$ 对称，C 正确。 若直线 $y=2x$ 与曲线相切，设切点横坐标为 $x_0$，则 $f'(x_0)=3x_0^2-1=2$，得 $x_0=\pm1$。当 $x_0=1$ 时，$f(1)=1$，切线为 $y-1=2(x-1)$，即 $y=2x-1$，不是 $y=2x$；当 $x_0=-1$ 时，$f(-1)=1$，切线为 $y-1=2(x+1)$，即 $y=2x+3$，也不是 $y=2x$。故 D 错误。 故选 AC。
**24. (1) $a$ 的最小值为 $-2$
(2) 见解析**（导数恒成立求参数｜2024）
【思路】 （1）先求定义域，将$f'(x)\ge 0$恒成立转化为$a\ge -\frac{2}{x(2-x)}$恒成立，利用基本不等式求最值；（2）证明$f(x)+f(2-x)$为常数，从而得到对称中心。 【解答】 （1）当$b=0$时，$f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax$，定义域为$(0,2)$。 $f'(x)=\frac{2-x}{x}\cdot\frac{2}{(2-x)^2}+a=\frac{2}{x(2-x)}+a$。 若$f'(x)\ge 0$恒成立，则$a\ge -\frac{2}{x(2-x)}$对任意$x\in(0,2)$恒成立。 由$x(2-x)\le (\frac{x+2-x}{2})^2=1$，当且仅当$x=1$时取等号，得$\frac{2}{x(2-x)}\ge 2$，所以$-\frac{2}{x(2-x)}\le -2$。 因此$a\ge -2$，故$a$的最小值为$-2$。 （2）$f(x)$的定义域为$(0,2)$，关于$x=1$对称。 $f(x)+f(2-x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3+\ln\frac{2-x}{x}+a(2-x)+b(1-x)^3$。 因为$\ln\frac{x}{2-x}+\ln\frac{2-x}{x}=0$，$(x-1)^3+(1-x)^3=0$，所以$f(x)+f(2-x)=2a$。 故曲线$y=f(x)$关于点$(1,a)$中心对称，即曲线$y=f(x)$是中心对称图形。
25. $80$（二项式展开求系数｜2025）
【思路】 利用二项展开式的通项公式，找出含 $x^3$ 的项并计算系数。 【解答】 $(2x-1)^5$ 的通项为 $T_{r+1}=C_5^r(2x)^{5-r}(-1)^r$。令 $5-r=3$，得 $r=2$，此时系数为 $C_5^2\cdot2^3\cdot(-1)^2=10\times8=80$。故填 $80$。
26. $\frac{61}{2（分布列与数学期望｜2025）
【思路】 有放回抽取三次，每次取到某个特定球的概率为 $\frac{1}{5}$。$X$ 表示至少取出一次的球的个数，即被抽到的不同标号数。利用期望的线性性质，对每个球引入指示变量。 【解答】 设 $I_i$ 表示第 $i$ 号球在三次抽取中至少出现一次，则 $X=\sum_{i=1}^{5} I_i$。每次抽取抽到第 $i$ 号球的概率为 $\frac{1}{5}$，三次都没抽到的概率为 $\left(\frac{4}{5}\right)^3$，所以 $P(I_i=1)=1-\left(\frac{4}{5}\right)^3=1-\frac{64}{125}=\frac{61}{125}$。因此 $E(I_i)=\frac{61}{125}$，$E(X)=\sum_{i=1}^{5}E(I_i)=5\times\frac{61}{125}=\frac{61}{25}$。故填 $\frac{61}{25}$。
27. (1)90%；(2)可以（独立性检验｜2025）
【思路】 （1）根据条件概率定义，用不正常者中患病的人数除以不正常者总人数；（2）代入卡方公式计算并与临界值比较。 【解答】 （1）超声波检查结果不正常者共200人，其中患该疾病的有180人，所以p的估计值为180/200=0.9=90%。（2）由列联表，a=20，b=180，c=780，d=20，n=1000，χ²=1000×(20×20-180×780)²/[(200)(800)(800)(200)]=1000×(400-140400)²/(200×800×800×200)=1000×140000²/25600000000=1000×19600000000/25600000000=765.625。因为765.625>10.828，所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，认为超声波检查结果与患该疾病有关。
什么叫"母题"：一个模型 = 一类题的公共骨架。母题会了，同族的变式都能推。
用法：先看"题眼"能不能一眼认出来，再看"通法"是不是闭着眼能走完。认不出眼，就得回去补这一节。
全卷统一取 g = 10 m/s²（天体类另注）。
1. 高一上练"力与加速度"：把受力分析做干净，再用牛顿第二定律联系运动——重点在"过程分段"与"临界时刻"；
2. 高一下练"两个守恒"：能量（动能定理、机械能守恒）和动量（碰撞、人船），先想守恒、再列式；
3. 高二练"场与路"：从均匀场的受力，到磁场中的圆周，再到电磁感应与交变电流——重点在"判断方向 + 抓住不变的量"。
共 22 题，每题对应一个母题模型；满分 100 分，建议用时 90 分钟。计算题统一取 g = 10 m/s²。
题目为自拟的标准教材 / 高考常规题型，供自用练习。
1.（运动学图象与匀变速直线运动，4分） 汽车以 10 m/s 的速度在平直公路上匀速行驶，因故紧急刹车，刹车后做匀减速运动，加速度大小为 2 m/s²。则汽车从开始刹车起 6 s 内通过的位移为（ ）
2.（追及相遇，6分） 在平直公路上，一辆汽车以 12 m/s 的速度匀速行驶，司机突然发现前方 x₀ = 20 m 处有一辆以 4 m/s 匀速同向行驶的拖拉机，立即以 a = 2 m/s² 的加速度匀减速刹车。求：
3.（受力分析与连接体（整体法 / 隔离法），4分） 光滑水平面上放着质量 m₁ = 1 kg 和 m₂ = 2 kg 的两个物块，用轻绳相连。现用 F = 6 N 的水平恒力拉 m₁，使两物块一起加速运动。则连接两物块的轻绳中的张力为（ ）
4.（斜面与传送带，6分） 水平传送带以 v = 2 m/s 的速度向右匀速运行。现将一质量 m = 1 kg 的小物块以 v₀ = 4 m/s 的水平向右初速度滑上传送带左端，物块与传送带间的动摩擦因数 μ = 0.2。求物块从滑上传送带到与传送带速度相同：
5.（牛顿第二定律的瞬时性，4分） 天花板下用细绳悬挂小球 A，A 与小球 B 之间用竖直轻弹簧相连，两球质量均为 m，系统静止。某时刻剪断 A 上方的细绳，则剪断瞬间 A、B 两球的加速度大小分别为（ ）
6.（超重与失重，4分） 质量 m = 50 kg 的人站在电梯内的体重计上。当电梯以 a = 2 m/s² 的加速度匀加速上升时，体重计的示数为（ ）
7.（平抛运动，6分） 从离地高 h = 20 m 的平台上，以水平速度 v₀ = 10 m/s 抛出一小球，不计空气阻力。求：
8.（圆周运动与临界，4分） 一根长为 R = 0.4 m 的轻绳一端固定，另一端系一小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。则小球通过最高点时的最小速度为（ ）
9.（万有引力与天体运动，6分） 一颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径 r = 4R（R 为地球半径）。已知地球半径 R = 6.4×10⁶ m，地球表面的重力加速度 g = 10 m/s²，忽略地球自转。求：
10.（功和能 · 动能定理，6分） 质量 m = 2 kg 的物体在粗糙水平面上由静止开始，在水平恒力 F = 10 N 作用下沿直线移动了 s = 4 m，物体与水平面间的动摩擦因数 μ = 0.3。求：
11.（机械能守恒，4分） 质量为 m = 1 kg 的小球从离地高 h = 5 m 处由静止自由下落，不计空气阻力。求小球落地时的速度大小。（要求用机械能守恒定律求解）
12.（动量与碰撞（一维），6分） 光滑水平面上，质量 m₁ = 2 kg 的小球以 v₀ = 6 m/s 的速度与静止的质量 m₂ = 4 kg 的小球发生一维弹性正碰。求碰后两球速度的大小和方向。
13.（人船模型，4分） 质量为 M = 180 kg 的小船静止在静水中，质量为 m = 60 kg 的人从船头走到船尾，船身长 L = 4 m。不计水的阻力。求此过程中船移动的距离。
14.（电场 · 库仑定律，4分） 真空中，两个点电荷相距 r = 0.3 m，电荷量分别为 q₁ = +4×10⁻⁸ C 和 q₂ = −9×10⁻⁸ C，静电力常量 k = 9×10⁹ N·m²/C²。求它们之间静电力的大小，并说明是引力还是斥力。
15.（电势能与电容，4分） 一平行板电容器的电容 C = 2 μF，两板间距离 d = 2 mm，将其接在电压 U = 100 V 的直流电源上并保持连接。求：
16.（闭合电路欧姆定律，4分） 电源电动势 E = 6 V，内阻 r = 1 Ω，外接一个阻值 R = 5 Ω 的电阻。求：
17.（电表改装与伏安法，4分） 某电流计的内阻 Rg = 50 Ω，满偏电流 Ig = 2 mA。
18.（磁场 · 安培力与洛伦兹力，4分） 一根长 L = 0.5 m 的直导线垂直放入匀强磁场中，导线中通有 I = 2 A 的电流，导线受到的安培力 F = 0.4 N。
19.（带电粒子在磁场中的圆周运动，4分） 一个质量 m = 8×10⁻²⁶ kg、电荷量 q = 1.6×10⁻¹⁹ C 的带电粒子，以速度 v = 1×10⁵ m/s 垂直射入磁感应强度 B = 0.5 T 的匀强磁场（不计重力）。求：
20.（电磁感应 · 动生电动势，4分） 在磁感应强度 B = 0.5 T 的匀强磁场中，一根长 L = 0.4 m 的导体棒以 v = 5 m/s 的速度沿垂直于棒、且垂直于磁场的方向匀速运动。
21.（交变电流与变压器，4分） 一台理想变压器，原线圈匝数 n₁ = 1000 匝，接在有效值为 U₁ = 220 V 的交流电源上，副线圈匝数 n₂ = 200 匝。副线圈外接一个阻值 R = 44 Ω 的电阻。求：
22.（机械波与波的图象，4分） 一列简谐横波沿 x 轴正方向传播，波速 v = 2 m/s，波长 λ = 0.4 m。求：
1. C（运动学图象与匀变速直线运动）
【思路】 先判断减速停下所需时间，确认 6 s 内是否已停止。
【解答】 由 v₀ = at 得停下所需时间 t₀ = v₀/a = 10/2 = 5 s < 6 s，故 5 s 时车已停。位移只算到停下：x = v₀²/(2a) = 10²/(2×2) = 25 m。故选 C。
2.（追及相遇）
【思路】 两车速度相等时相距最近；再比较最小间距与 0 的大小判断是否相撞。
【解答】 (1) 汽车减速到与拖拉机同速（4 m/s）时两者距离最小，用时 t = (12−4)/2 = 4 s。
此过程汽车位移 x₁ = v₀t − ½at² = 12×4 − ½×2×4² = 48 − 16 = 32 m。
拖拉机位移 x₂ = v₁t = 4×4 = 16 m。
最小距离 d = x₀ + x₂ − x₁ = 20 + 16 − 32 = 4 m。
(2) 因最小距离 4 m > 0，故两车不会相撞。
3. C（受力分析与连接体）
【思路】 先用整体法求加速度，再隔离受拉力之外的那个物块求绳张力。
【解答】 系统 a = F/(m₁+m₂) = 6/(1+2) = 2 m/s²。
隔离 m₂：绳张力 T 提供其加速度，T = m₂a = 2×2 = 4 N。故选 C。
4.（斜面与传送带）
【思路】 物块速度大于带速，相对带向右滑，摩擦力向左、大小 μmg，物块减速；到共速后与带一起匀速。
【解答】 f = μmg = 0.2×1×10 = 2 N，a = f/m = 2 m/s²（减速）。
(1) 减速到 2 m/s：t = (v₀−v)/a = (4−2)/2 = 1 s。
(2) 物块位移 x = (v₀+v)/2 · t = (4+2)/2 × 1 = 3 m。
(3) 传送带位移 x带 = vt = 2×1 = 2 m，相对位移 Δs = x − x带 = 1 m。
摩擦生热 Q = f·Δs = 2×1 = 2 J。
5. B（牛顿第二定律的瞬时性）
【思路】 剪断瞬间弹簧形变量来不及改变，弹力不变；绳的拉力突变为零。
【解答】 剪断前，弹簧对 B 的拉力（向上）等于 B 的重力 mg，故弹簧对 A 的拉力（向下）也为 mg。
剪断瞬间弹簧力不变：B 受弹力 mg（向上）与重力 mg（向下）平衡，a_B = 0；
A 受重力 mg 与弹簧拉力 mg，均向下，合力 2mg，a_A = 2mg/m = 2g。故选 B。
6. C（超重与失重）
【思路】 加速度向上为超重，由牛顿第二定律求支持力（示数）。
【解答】 匀加速上升，a 向上，处于超重状态：N − mg = ma，
N = m(g+a) = 50×(10+2) = 600 N。故选 C。
7.（平抛运动）
【思路】 竖直分运动定时间，水平分运动定射程，落地速度用矢量合成。
【解答】 (1) 竖直方向 h = ½gt²，t = √(2h/g) = √(2×20/10) = 2 s。
(2) 水平方向 x = v₀t = 10×2 = 20 m。
(3) 落地竖直分速度 v_y = gt = 20 m/s，
v = √(v₀²+v_y²) = √(10²+20²) = √500 = 10√5 ≈ 22.4 m/s。
8. B（圆周运动与临界）
【思路】 绳（内轨道）模型在最高点的临界条件是重力恰好提供向心力。
【解答】 mg = mv²/R，v = √(gR) = √(10×0.4) = 2 m/s。故选 B。
9.（万有引力与天体运动）
【思路】 用黄金代换 GM = gR²，再由万有引力提供向心力求 v 和 T。
【解答】 (1) 由 GM = gR²，卫星做圆周运动：GMm/r² = mv²/r，
v = √(GM/r) = √(gR²/(4R)) = √(gR/4) = √(10×6.4×10⁶/4) = √(1.6×10⁷) = 4×10³ m/s。
(2) T = 2πr/v = 2π×(4×6.4×10⁶)/(4×10³) = 2π×6400 = 1.28×10⁴π s ≈ 4.0×10⁴ s。
10.（功和能 · 动能定理）
【思路】 先求各力做功，再对全过程用动能定理。
【解答】 摩擦力 f = μmg = 0.3×2×10 = 6 N。
(1) 合外力 F合 = F − f = 10 − 6 = 4 N，W合 = F合·s = 4×4 = 16 J。
(2) 由动能定理 W合 = ½mv² − 0：½×2×v² = 16，v² = 16，v = 4 m/s。
11.（机械能守恒）
【思路】 只有重力做功，机械能守恒。
【解答】 以地面为零势能面：mgh = ½mv²，
v = √(2gh) = √(2×10×5) = 10 m/s。
12.（动量与碰撞（一维））
【思路】 弹性碰撞同时满足动量守恒与动能守恒，可直接用弹性碰撞公式。
【解答】 v₁′ = (m₁−m₂)/(m₁+m₂)·v₀ = (2−4)/(2+4)×6 = −2 m/s；
v₂′ = 2m₁/(m₁+m₂)·v₀ = 2×2/6×6 = 4 m/s。
即 m₁ 以 2 m/s 沿原方向的反方向弹回，m₂ 以 4 m/s 沿原方向前进。
【校验】 动量 2×6 = 12；碰后 2×(−2)+4×4 = 12，守恒 ✓。
13.（人船模型）
【思路】 系统初动量为零，动量守恒 → 位移与质量成反比。
【解答】 由 m·x人 = M·x船，且 x人 + x船 = L：
60x人 = 180x船 → x人 = 3x船；3x船 + x船 = 4 → x船 = 1 m，x人 = 3 m。
船移动 1 m，方向与人行走方向相反。
14.（电场 · 库仑定律）
【思路】 直接套库仑定律，异种电荷相互吸引。
【解答】 F = kq₁q₂/r² = 9×10⁹×(4×10⁻⁸×9×10⁻⁸)/0.3²。
其中 4×10⁻⁸×9×10⁻⁸ = 3.6×10⁻¹⁵，
F = 9×10⁹×3.6×10⁻¹⁵/0.09 = 9×10⁹×4×10⁻¹⁴ = 3.6×10⁻⁴ N。
两电荷异号，故为引力。
15.（电势能与电容）
【思路】 保持与电源连接 → U 不变；用 C=Q/U 求电荷量，E=U/d 求场强。
【解答】 (1) Q = CU = 2×10⁻⁶×100 = 2×10⁻⁴ C。
(2) E = U/d = 100/(2×10⁻³) = 5×10⁴ V/m。
16.（闭合电路欧姆定律）
【思路】 先由闭合电路欧姆定律求电流，再依次求路端电压和输出功率。
【解答】 (1) I = E/(R+r) = 6/(5+1) = 1 A。
(2) 路端电压 U = IR = 1×5 = 5 V（即 U = E − Ir = 6 − 1 = 5 V）。
(3) 输出功率 P出 = UI = 5×1 = 5 W。
17.（电表改装与伏安法）
【思路】 电压表＝电流计串联大电阻；小电阻测电阻用电流表外接。
【解答】 (1) 满偏时 U = Ig(Rg + R)：3 = 2×10⁻³×(50 + R) → 50 + R = 1500 → R = 1450 Ω。
(2) 应选"外接"（电压表并联在 Rx 两端、电流表接在其外）。因为 Rx ≈ 5 Ω 属小电阻，远小于电压表内阻，外接时电压表分流引起的误差小；若内接，电流表内阻与被测电阻可比，误差大。
18.（磁场 · 安培力与洛伦兹力）
【思路】 导线与 B 垂直，用 F=BIL；电子与 B 垂直，用 F=qvB。
【解答】 (1) B = F/(IL) = 0.4/(2×0.5) = 0.4 T。
(2) f = qvB = 1.6×10⁻¹⁹×1×10⁶×0.4 = 6.4×10⁻¹⁴ N。
19.（带电粒子在磁场中的圆周运动）
【思路】 洛伦兹力提供向心力；周期与速度无关。
【解答】 (1) qvB = mv²/r → r = mv/(qB) = (8×10⁻²⁶×1×10⁵)/(1.6×10⁻¹⁹×0.5) = (8×10⁻²¹)/(8×10⁻²⁰) = 0.1 m。
(2) T = 2πm/(qB) = 2π×(8×10⁻²⁶)/(8×10⁻²⁰) = 2π×10⁻⁶ s ≈ 6.28×10⁻⁶ s。
20.（电磁感应 · 动生电动势）
【思路】 导体棒垂直切割磁感线，E=BLv；再由欧姆定律求电流。
【解答】 (1) E = BLv = 0.5×0.4×5 = 1 V。
(2) I = E/R = 1/2 = 0.5 A。
21.（交变电流与变压器）
【思路】 电压比等于匝数比；副线圈接负载求 I₂，再由功率守恒求 I₁。
【解答】 (1) U₂ = (n₂/n₁)U₁ = (200/1000)×220 = 44 V。
(2) I₂ = U₂/R = 44/44 = 1 A；理想变压器 P₁=P₂，即 U₁I₁ = U₂I₂，
I₁ = U₂I₂/U₁ = 44×1/220 = 0.2 A（也等于 (n₂/n₁)I₂ = 0.2 A）。
22.（机械波与波的图象）
【思路】 由 v = λ/T = λf 求解。
【解答】 (1) T = λ/v = 0.4/2 = 0.2 s。
(2) f = 1/T = 1/0.2 = 5 Hz（即 f = v/λ = 2/0.4 = 5 Hz）。
什么叫"母题"：一个模型 = 一类题的公共骨架。母题会了，同族的变式都能推。
用法：先看"题眼"能不能一眼认出来，再看"通法"是不是闭着眼能走完。认不出眼，就得回去补这一节。
配套练习见《化学母题卷_高一高二.md》，每题都标注了所对应的模型。
1. 高一上练"量、电、离子"：物质的量是全部计算的入口，氧化还原是全部电子问题的总纲；
2. 高一下练"元素与结构"：一类金属（钠铝铁）+ 一类非金属（氯硫氮硅），全部靠"单质→氧化物→水化物→盐"这条线串起来；
3. 高二练"速率、平衡、电与有机"：主线上讲平衡（速率、K、电离、水解、沉淀）与转化（电化学、有机合成），核心工具是守恒与三段式。
⚠️ 使用提醒：本地图与配套母题卷为自编材料，题目均为自拟的常规题型，未采用任何题库版权题。
凡出现方程式的题目，均已逐条配平并核对元素守恒与电荷守恒。
共 22 题，每题对应《化学母题地图_高一高二.md》里的一个母题模型。
建议时间 90 分钟，满分 100 分（第 1—20 题每题 4 分，第 21—22 题每题 10 分）。
做完对着母题地图标出没认出来的模型；所有题目均为自拟常规题型，未采用任何题库版权题。
1.（物质的量与阿伏加德罗常数判断） 设 N_A 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（ ）
2.（一定物质的量浓度溶液配制） 实验室需配制 480 mL 0.50 mol/L 的 NaOH 溶液，应称取 NaOH 固体的质量为______g。
3.（离子共存） 下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是（ ）
4.（离子方程式正误判断） 下列离子方程式书写正确的是（ ）
5.（氧化还原：配平与电子守恒计算） 一定量的 H₂O₂ 在酸性条件下恰好被 0.20 mol KMnO₄ 完全氧化。则 H₂O₂ 的物质的量为______mol，反应中转移电子的物质的量为______mol。
6.（钠及其化合物） 将 7.8 g Na₂O₂ 放入足量水中使其完全反应。求：生成气体的物质的量以及反应中转移电子的物质的量。
7.（铝及其化合物的两性） 将 0.010 mol AlCl₃ 溶于水配成溶液。
8.（铁及其化合物：Fe²⁺/Fe³⁺ 转化） 向含 0.10 mol FeCl₃ 的溶液中加入 0.05 mol 铁粉，充分反应（忽略水解与体积变化）。溶液中 Fe²⁺ 的物质的量为______mol。
9.（氯及其化合物） 标准状况下，2.24 L Cl₂ 与足量 NaOH 溶液完全反应，反应中转移电子的物质的量为______mol。
10.（硫与氮：SO₂、硝酸） 将 9.6 g 铜片放入足量稀硝酸中完全反应。求：生成 NO 在标准状况下的体积（L）以及被还原的硝酸的物质的量（mol）。
11.（硅与无机非金属材料） 下列说法正确的是（ ）
12.（元素周期律与位构性） 下列事实不能说明氯的非金属性比硫强的是（ ）
13.（化学反应速率与影响因素） 某温度下，在 2 L 恒容密闭容器中发生反应：2SO₂(g) + O₂(g) ⇌ 2SO₃(g)。起始时 SO₂ 的物质的量为 0.60 mol，2 min 后测得 SO₂ 的物质的量为 0.20 mol。求以 O₂ 表示的平均反应速率。
14.（化学平衡：K、转化率） 某温度下，在 1 L 密闭容器中充入 0.10 mol H₂ 和 0.10 mol I₂，发生反应 H₂(g) + I₂(g) ⇌ 2HI(g)，达到平衡时 HI 的物质的量为 0.12 mol。求该温度下的平衡常数 K 和 H₂ 的转化率。
15.（弱电解质的电离与 pH） 常温下，pH = 2 的盐酸与 pH = 2 的醋酸各 100 mL，分别加水稀释到 1000 mL，稀释后溶液的 pH 分别记为 pH₁、pH₂。则 pH₁______pH₂（填"＞""＜"或"＝"）。
16.（盐类水解） 常温下，物质的量浓度均为 0.1 mol/L 的下列四种溶液，pH 由大到小的顺序是______（用序号表示）。
17.（沉淀溶解平衡 Ksp） 常温下，Ksp(AgCl) = 1.8×10⁻¹⁰，Ksp(AgBr) = 5.4×10⁻¹³。向含 Cl⁻ 和 Br⁻ 浓度均为 0.010 mol/L 的混合溶液中逐滴加入 AgNO₃ 溶液（忽略体积变化）。
18.（原电池与电解池） 用石墨作电极电解 CuSO₄ 溶液。
19.（金属腐蚀与防护） 钢铁在海水（中性、含 NaCl 等电解质）中长期浸泡发生吸氧腐蚀。
20.（有机化学基础：同分异构与官能团性质） 分子式为 C₄H₈ 且能使溴水褪色的有机物（不考虑顺反异构和环状结构）共有______种。
21.（有机合成路线设计） 以乙烯为起始原料，设计合成乙酸乙酯的路线。写出各步反应的化学方程式，并注明反应类型。
22.（化学实验基本操作与检验） 实验室检验某溶液中是否含有 SO₄²⁻ 的规范操作是：取少量待测液于试管中，先加入足量稀盐酸，无明显现象后，再滴加少量 BaCl₂ 溶液，若出现白色沉淀，则证明原溶液中含有 SO₄²⁻。请回答：
1. C（物质的量与阿伏加德罗常数判断）
【解析】A 错：Fe 与稀盐酸反应生成 FeCl₂，1 mol Fe 只失去 2 mol 电子，转移 2N_A。B 错：标准状况下乙醇是液体，不能用 22.4 L/mol。C 对：O₂ 和 O₃ 都是氧元素组成的单质，1.6 g 混合气体中氧原子 n = 1.6 g ÷ 16 g/mol = 0.10 mol，即 0.1N_A——守恒依据：原子（元素）质量守恒。D 错：CO₃²⁻ 水解，其数目小于 0.1N_A。
2. 10.0 g（一定物质的量浓度溶液配制）
【解析】实验室没有 480 mL 容量瓶，应按 500 mL 配制。n(NaOH) = 0.500 L × 0.50 mol/L = 0.250 mol，m = 0.250 mol × 40 g/mol = 10.0 g。（易错：直接把体积按 480 mL 代入。）
3. D（离子共存）
【解析】A 错：溶液显碱性，HCO₃⁻ + OH⁻ = CO₃²⁻ + H₂O，不能共存。B 错：Cu²⁺ 在溶液中显蓝色，不符合"无色"。C 错：Fe³⁺ 与 SCN⁻ 发生络合反应，不能共存。D 对：由 c(H⁺)/c(OH⁻) = 1×10¹² 及 c(H⁺)·c(OH⁻) = 1×10⁻¹⁴ 知 c(H⁺) = 0.1 mol/L，溶液强酸性，Na⁺、K⁺、Cl⁻、SO₄²⁻ 互不反应，可大量共存。
4. C（离子方程式正误判断）
【解析】A 错：产物应为 Fe²⁺，正确写法 Fe + 2H⁺ = Fe²⁺ + H₂↑（电荷：左 +2，右 +2，守恒；但产物与事实不符）。B 错：HClO 是弱酸，不能拆，应写 Cl₂ + H₂O ⇌ H⁺ + Cl⁻ + HClO。C 对：拆写正确、原子与电荷均守恒（左 0 = 右 0），且产物符合事实。D 错：醋酸是弱酸，不能拆，应写 CaCO₃ + 2CH₃COOH = Ca²⁺ + 2CH₃COO⁻ + H₂O + CO₂↑。
5. 0.50 mol；1.0 mol（氧化还原：配平与电子守恒计算）
【解析】先配平：2MnO₄⁻ + 5H₂O₂ + 6H⁺ = 2Mn²⁺ + 5O₂↑ + 8H₂O。
配平核对——Mn：2 = 2；O：2×4 + 5×2 = 18，右边 5×2 + 8 = 18；H：5×2 + 6 = 16，右边 8×2 = 16；电荷：左 2×(−1) + 6×(+1) = +4，右 2×(+2) = +4。元素与电荷守恒均通过。
电子守恒：Mn 由 +7 降到 +2，每 mol 得 5 mol e⁻；O 由 −1 升到 0，每 mol O 失 1 mol e⁻。由关系式 2MnO₄⁻ ~ 5H₂O₂ 得 n(H₂O₂) = 0.20 mol × 5/2 = 0.50 mol；转移电子 n(e⁻) = 0.20 mol × 5 = 1.0 mol（也可由 0.50 mol H₂O₂ × 2 = 1.0 mol 验证）。
6. 0.05 mol O₂；转移 0.1 mol e⁻（钠及其化合物）
【解析】n(Na₂O₂) = 7.8 g ÷ 78 g/mol = 0.10 mol。
2Na₂O₂ + 2H₂O = 4NaOH + O₂↑（原子：Na 4 = 4、O 2×2+2 = 6，右 4+2 = 6、H 4 = 4，配平）。
由关系式 2Na₂O₂ ~ O₂ 得 n(O₂) = 0.10 mol × 1/2 = 0.05 mol。
电子守恒：Na₂O₂ 中 O 为 −1 价，一半氧升到 0（O₂），一半降到 −2（OH⁻）。0.10 mol O 由 −1 升到 0 失 0.10 mol e⁻，0.10 mol O 由 −1 降到 −2 得 0.10 mol e⁻，转移电子 0.1 mol e⁻（Na₂O₂ 在这类反应中既是氧化剂又是还原剂）。
7.（1）0 g （2）0.78 g（铝及其化合物的两性）
【解析】（1）n(OH⁻)/n(Al³⁺) = 0.040/0.010 = 4。发生 Al³⁺ + 4OH⁻ = AlO₂⁻ + 2H₂O（电荷：左 +3 − 4 = −1，右 −1，守恒；原子：Al 1 = 1、O 4 = 2+2、H 4 = 4），Al³⁺ 全部转化为偏铝酸根，沉淀质量为 0 g。
（2）氨水是弱碱，Al(OH)₃ 不溶于过量氨水：Al³⁺ + 3NH₃·H₂O = Al(OH)₃↓ + 3NH₄⁺（电荷：左 +3，右 +3，守恒；原子：Al 1 = 1、N 3 = 3、O 3 = 3、H 15 = 3+12）。0.010 mol Al³⁺ 只耗 0.030 mol NH₃·H₂O，所给 0.040 mol 过量，生成 n[Al(OH)₃] = 0.010 mol，m = 0.010 mol × 78 g/mol = 0.78 g。
8. 0.15 mol（铁及其化合物：Fe²⁺/Fe³⁺ 转化）
【解析】2FeCl₃ + Fe = 3FeCl₂（或 2Fe³⁺ + Fe = 3Fe²⁺，电荷：左 +6，右 +6，守恒；原子：Fe 3 = 3）。n(Fe³⁺) : n(Fe) = 0.10 : 0.05 = 2 : 1，恰好完全反应。由关系式 2Fe³⁺ ~ 3Fe²⁺ 得 n(Fe²⁺) = 0.10 mol × 3/2 = 0.15 mol。
9. 0.1 mol（氯及其化合物）
【解析】n(Cl₂) = 2.24 L ÷ 22.4 L/mol = 0.10 mol。Cl₂ + 2NaOH = NaCl + NaClO + H₂O，离子式 Cl₂ + 2OH⁻ = Cl⁻ + ClO⁻ + H₂O（电荷：左 −2，右 −2，守恒；原子：Cl 2 = 2、O 2 = 1+1、H 2 = 2）。Cl 一半由 0 降到 −1，一半由 0 升到 +1，每 1 mol Cl₂ 转移 1 mol e⁻，故转移 0.1 mol 电子。
10. 2.24 L；0.10 mol（硫与氮：SO₂、硝酸）
【解析】n(Cu) = 9.6 g ÷ 64 g/mol = 0.15 mol。
3Cu + 8HNO₃(稀) = 3Cu(NO₃)₂ + 2NO↑ + 4H₂O（Cu：3 = 3；N：8 = 6 + 2；O：24 = 18 + 2 + 4 = 24；H：8 = 8，配平）。
由关系式 3Cu ~ 2NO 得 n(NO) = 0.15 mol × 2/3 = 0.10 mol，V(NO) = 0.10 mol × 22.4 L/mol = 2.24 L。
被还原的硝酸即由 +5 降到 +2 的那部分，1 : 1 对应 NO，故 n(被还原 HNO₃) = n(NO) = 0.10 mol（起酸性作用的另有 0.30 mol，二者合计 0.40 mol，与方程式相符——电子守恒 + 质量守恒双核对）。
11. D（硅与无机非金属材料）
【解析】A 错：SiO₂ 虽为酸性氧化物，但不溶于水，不能与水直接反应制 H₂SiO₃（只能由可溶性硅酸盐加酸得到）。B 错：光导纤维的主要材料是 SiO₂，不是硅。C 错：常温下硅能与 NaOH 溶液反应：Si + 2NaOH + H₂O = Na₂SiO₃ + 2H₂↑（配平核对：Na 2 = 2；Si 1 = 1；O 2+1 = 3，右 3；H 2+2 = 4，右 2×2 = 4）。D 对：SiO₂ 与 NaOH 反应生成有粘性的 Na₂SiO₃，会使玻璃塞与瓶身粘住，故必须用橡胶塞。
12. D（元素周期律与位构性）
【解析】A、B、C 都能说明氯的非金属性强于硫：最高价含氧酸的酸性（HClO₄ > H₂SO₄）、单质间的置换（Cl₂ 能置换出 S）、气态氢化物的稳定性（HCl > H₂S），都是教材认可的判据。D 不能说明：非金属性的强弱应看最高价氧化物对应水化物的酸性，而 HCl 不是含氧酸、H₂S 中硫也不是最高价，两者水溶液的酸性强弱不能作为判断非金属性的依据。故选 D。
13. 0.05 mol/(L·min)（化学反应速率与影响因素）
【解析】Δn(SO₂) = 0.60 mol − 0.20 mol = 0.40 mol，Δc(SO₂) = 0.40 mol ÷ 2 L = 0.20 mol/L。
v(SO₂) = Δc/Δt = 0.20 mol/L ÷ 2 min = 0.10 mol/(L·min)。
由速率之比 = 化学计量数之比：v(O₂) = v(SO₂) × 1/2 = 0.05 mol/(L·min)。
14. K = 9；转化率 60%（化学平衡：K、转化率）
【解析】三段式（单位 mol/L，容器 1 L）：
H₂(g) + I₂(g) ⇌ 2HI(g)
起始 0.10 0.10 0
变化 x x 2x = 0.12 → x = 0.06
平衡 0.04 0.04 0.12
K = c²(HI) / [c(H₂)·c(I₂)] = (0.12)² / (0.04 × 0.04) = 0.0144 / 0.0016 = 9。
转化率 α(H₂) = 转化量/起始量 = 0.06 / 0.10 × 100% = 60%。（质量守恒：0.10 + 0.10 = 0.04 + 0.04 + 0.12 = 0.20，I 原子守恒。）
15. ＞（弱电解质的电离与 pH）
【解析】盐酸是强酸，稀释 10 倍，c(H⁺) 由 1×10⁻² mol/L 降到 1×10⁻³ mol/L，pH₁ = 3。醋酸是弱酸，加水稀释会促进电离，稀释后 c(H⁺) 下降得比 10 倍少，仍大于 1×10⁻³ mol/L，故 pH₂ ＜ 3。所以 pH₁ ＞ pH₂。
16. ① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④（盐类水解）
【解析】Na₂CO₃、NaHCO₃、CH₃COONa 都是强碱弱酸盐，水解显碱性，阴离子对应酸越弱、水解程度越大、碱性越强；NaCl 是强酸强碱盐，显中性（pH = 7），排最后。CO₃²⁻ 对应 HCO₃⁻（H₂CO₃ 的 Ka₂ = 5.6×10⁻¹¹），比 HCO₃⁻ 对应 H₂CO₃（Ka₁ = 4.3×10⁻⁷）弱得多，故 ① ＞ ②；HCO₃⁻ 的水解程度又明显大于 CH₃COO⁻（CH₃COOH 的 Ka = 1.8×10⁻⁵ 更大，对应酸更强、水解更弱），故 ② ＞ ③。所以顺序为 ① ＞ ② ＞ ③ ＞ ④。（注：这里比的是碱性，NaHCO₃ 溶液本身仍显碱性。）
17.（1）AgBr （2）3.0×10⁻³（沉淀溶解平衡 Ksp）
【解析】（1）AgCl 与 AgBr 是同一类型（1 : 1）的难溶物，Ksp 越小越先沉淀。Ksp(AgBr) = 5.4×10⁻¹³ ＜ Ksp(AgCl) = 1.8×10⁻¹⁰，故先生成 AgBr。
（2）AgCl 恰好开始沉淀时，c(Ag⁺) = Ksp(AgCl) / c(Cl⁻) = 1.8×10⁻¹⁰ ÷ 0.010 = 1.8×10⁻⁸ mol/L（此时 c(Cl⁻) 仍近似为 0.010 mol/L）。
此时 Br⁻ 的残留浓度由 AgBr 的 Ksp 决定：c(Br⁻) = Ksp(AgBr) / c(Ag⁺) = 5.4×10⁻¹³ ÷ 1.8×10⁻⁸ = 3.0×10⁻⁵ mol/L。
所以 c(Br⁻)/c(Cl⁻) = 3.0×10⁻⁵ ÷ 0.010 = 3.0×10⁻³。
18.（1）阴极 Cu²⁺ + 2e⁻ = Cu；阳极 4OH⁻ − 4e⁻ = O₂↑ + 2H₂O （2）0.28 L（原电池与电解池）
【解析】（1）石墨是惰性电极。阴极：Cu²⁺ + 2e⁻ = Cu（电荷：左 +2 + (−2) = 0，守恒）。阳极：溶液中 OH⁻ 先失电子，4OH⁻ − 4e⁻ = O₂↑ + 2H₂O（电荷：左 −4 − (−4) = 0，右 0，守恒；原子：O 4 = 2+2、H 4 = 4），也可写成 2H₂O − 4e⁻ = O₂↑ + 4H⁺。
（2）n(Cu) = 1.6 g ÷ 64 g/mol = 0.025 mol，由阴极反应知 n(e⁻) = 0.025 × 2 = 0.050 mol（电子守恒：两极转移电子数相等）。阳极由关系式 4e⁻ ~ O₂ 得 n(O₂) = 0.050 ÷ 4 = 0.0125 mol，V(O₂) = 0.0125 mol × 22.4 L/mol = 0.28 L。
19.（金属腐蚀与防护）
【解析】（1）吸氧腐蚀中，活泼的铁作负极被氧化：负极 Fe − 2e⁻ = Fe²⁺；正极（钢铁中的碳等杂质）氧气得电子：正极 O₂ + 2H₂O + 4e⁻ = 4OH⁻（电荷：把 4e⁻ 计为 −4，左端 −4 = 右端 −4，守恒；原子：O 2+2 = 4、H 4 = 4）。
两极反应叠加（用电子守恒配平，负极 ×2 得 4e⁻）：2Fe + O₂ + 2H₂O = 2Fe(OH)₂（Fe 2 = 2；O 2 + 2 = 4，右 4；H 4 = 4）。
（2）原理：锌比铁活泼，在海水电解质中锌、铁构成原电池，锌作负极被腐蚀，铁作正极被保护（牺牲阳极的阴极保护法）。只要锌块未被完全腐蚀，船体就不会被腐蚀。
20. 3 种（有机化学基础：同分异构与官能团性质）
【解析】能使溴水褪色说明含 C=C，分子式 C₄H₈ 且不考虑环状、顺反异构，即为丁烯的碳链异构与位置异构：① 1-丁烯 CH₂=CH—CH₂—CH₃；② 2-丁烯 CH₃—CH=CH—CH₃（不计顺反）；③ 2-甲基丙烯 CH₂=C(CH₃)₂。共 3 种。（环丁烷、甲基环丙烷虽也是 C₄H₈，但按题目要求不计环状结构。）
21.（有机合成路线设计）
【解析】逆合成分析：乙酸乙酯 ← 乙酸 + 乙醇；乙酸 ← 乙醛 ← 乙醇；乙醇可由乙烯水化得到。路线如下：
① CH₂=CH₂ + H₂O —催化剂/加热加压→ CH₃CH₂OH（加成反应）
② 2CH₃CH₂OH + O₂ —Cu/Δ→ 2CH₃CHO + 2H₂O（氧化反应）
配平核对：C 2×2 = 4，右 2×2 = 4；H 2×6 = 12，右 2×4 + 2×2 = 12；O 2 + 2 = 4，右 2×1 + 2 = 4。
③ 2CH₃CHO + O₂ —催化剂/Δ→ 2CH₃COOH（氧化反应）
配平核对：C 4 = 4；H 8 = 8；O 2×1 + 2 = 4，右 2×2 = 4。
④ CH₃COOH + CH₃CH₂OH —浓硫酸/Δ→ CH₃COOCH₂CH₃ + H₂O（酯化反应，属于取代反应）
配平核对：C 4 = 4；H 4+6 = 10，右 8+2 = 10；O 2+1 = 3，右 2+1 = 3。
22.（化学实验基本操作与检验）
【解析】（1）先加足量稀盐酸，是为了排除 CO₃²⁻、SO₃²⁻ 等离子的干扰：它们与 Ba²⁺ 也生成白色沉淀（BaCO₃、BaSO₃），但能溶于盐酸。若加盐酸后无气体、无沉淀，说明这些离子已被排除，之后再检验才可靠。
（2）若先加 BaCl₂ 溶液，CO₃²⁻、SO₃²⁻ 也会产生白色沉淀，仅凭"有白色沉淀"就下结论会误判为含 SO₄²⁻；而且此时再加稀盐酸，若沉淀溶解，只能说明原来的是 BaCO₃/BaSO₃ 而非 BaSO₄，反倒要重做实验。规范顺序应是"先酸化排除干扰，后加 BaCl₂ 检验"，才能得出 SO₄²⁻ 的唯一结论。