德摩根律
$$\complement_U(A\cup B)=(\complement_U A)\cap(\complement_U B)$$
$$\complement_U(A\cap B)=(\complement_U A)\cup(\complement_U B)$$
容斥原理
$$\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A\cap B)$$
← 由 集合互斥拆分 推来：把 $A\cup B$ 拆成 $A\setminus B$、$A\cap B$、$B\setminus A$ 三块，$A\cap B$ 被算了两次，减去一次。① 求根公式 ② 韦达定理 ③ 基本不等式
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad(a\neq 0)$$
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
$$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\quad(a,b>0)$$
顶点式 $y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，顶点 $\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$
← 由 配方法 推来均值不等式链（$a,b>0$）：$\dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$
← 由 完全平方非负 + 平方差 推来对勾函数 $x+\frac{1}{x}\ge 2$（$x>0$）
← 由 基本不等式（$a=x,b=\frac1x$）推来单调性：$x_1
奇偶性：$f(-x)=-f(x)$（奇）；$f(-x)=f(x)$（偶）
偶函数图像关于 $y$ 轴对称；奇函数图像关于原点对称
← 由 定义几何化 推来复合函数单调性「同增异减」
← 由 单调性定义传递 推来① 指数运算法则 ② 对数定义 ③ 对数运算法则 ④ 换底公式
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\quad (a^m)^n=a^{mn}$$
$$a^b=N\iff \log_a N=b$$
$$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N,\qquad \log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N,\qquad \log_a M^n=n\log_a M$$
$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$
对数恒等式 $a^{\log_a N}=N$
← 由 对数定义 直接推来倒数关系 $\log_a b\cdot\log_b a=1$
← 由 换底公式（令 $c=b$）推来底指可移 $\log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}\log_a b$
← 由 换底公式 + 幂的对数 推来特殊值 $\log_a 1=0,\ \log_a a=1$
← 由 $a^0=1,\ a^1=a$ 推来① 同角关系 ② 诱导公式 ③ 两角和差
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$
$$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$$
二倍角：$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$；$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$；$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
← 由 两角和公式令 $\beta=\alpha$ 推来降幂：$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$，$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$
← 由 $\cos 2\alpha$ 的两个变式 反解推来辅助角：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$
← 由 和角公式逆向 凑出推来半角：$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$，$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$
← 由 降幂公式令 $\alpha\to\frac\alpha2$ 开方推来和差化积：$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
← 由 两角和差公式 令 $A=\alpha+\beta,\ B=\alpha-\beta$ 相加减推来① 基本定理 ② 数量积定义 ③ 数量积坐标 ④ 余弦定理 ⑤ 正弦定理
$$\vec{a}=\lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2\quad(\vec{e}_1,\vec{e}_2\text{不共线})$$
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$$
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$
中点坐标 $M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$
← 由 $\overrightarrow{OM}=\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ 推来三角形面积族 $S=\frac12 ab\sin C=\frac{abc}{4R}=rp$
← 由 面积定义 + 正弦定理 推来重心坐标 $G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
← 由 中点公式 + 定比分点 推来投影向量 $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$
← 由 数量积几何意义 推来柯西不等式（二维）$(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)\ge(x_1x_2+y_1y_2)^2$
← 由 $|\vec{a}||\vec{b}|\ge|\vec{a}\cdot\vec{b}|$（$|\cos\theta|\le1$）推来① 四则运算 ② 共轭与模
$$z_1\pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)i,\qquad z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$$
$$|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \bar{z}=a-bi$$
$z\cdot\bar{z}=|z|^2$
← 由 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ 推来$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$
← 由 $|z_1z_2|^2=z_1z_2\bar{z}_1\bar{z}_2$ 推来$i$ 周期性：$i^{4k}=1,\ i^{4k+1}=i,\ i^{4k+2}=-1,\ i^{4k+3}=-i$
← 由 $i^2=-1\Rightarrow i^4=1$ 推来① 柱体 ② 锥体 ③ 球
$$V_{\text{柱}}=Sh,\qquad V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}Sh$$
$$V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi R^3,\qquad S_{\text{球}}=4\pi R^2$$
台体体积 $V=\frac13 h(S+\sqrt{SS'}+S')$
← 由 大锥减小锥 推来斜二测面积关系：直观图面积 $=\frac{\sqrt2}{4}$ 原图面积
← 由 纵向压缩一半 + 倾斜 45° 推来长方体对角线 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
← 由 勾股定理两次（先面后体） 推来① 平均数 ② 方差 ③ 标准差
$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,\qquad s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,\qquad s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$$
方差简化公式 $s^2=\frac1n\sum x_i^2-\bar{x}^2$
← 由 方差定义展开 推来线性变换 $y_i=ax_i+b$：$\bar{y}=a\bar{x}+b$，$s_y^2=a^2s_x^2$
← 由 定义代入，加常数抵消、乘系数平方 推来分层抽样平均数 $\bar{x}=\frac1N\sum n_i\bar{x}_i$
← 由 各层加权求和 推来① 古典概型 ② 加法公式 ③ 对立事件
$$P(A)=\frac{m}{n}$$
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
$$P(\bar{A})=1-P(A)$$
互斥加法：$A,B$ 互斥则 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
← 由 加法公式令 $P(A\cap B)=0$ 推来独立乘法：$P(AB)=P(A)P(B)$
← 由 条件概率 + 独立性定义 推来「至少一个」转化：$P(\text{至少发生一个})=1-P(\text{全不发生})$
← 由 对立事件 + 独立性 推来| 一级公式（源头） | 推导手段 | 二级公式（结论） |
|---|---|---|
| 求根公式 | 配方法 | 顶点式、判别式根的分布 |
| 求根公式 | 两根相加/相乘 | 韦达定理 |
| $(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$ | 展开 | 基本不等式、均值不等式链 |
| 对数定义 + 指数法则 | 设中间量取对数 | 对数运算法则、换底公式、对数恒等式 |
| $\cos(\alpha-\beta)$（向量法） | 令 $\beta=\alpha$ / 相加减 | 二倍角、降幂、半角、和差化积 |
| 数量积定义 + 坐标 | 向量平方 | 余弦定理、柯西不等式、投影向量 |
| $S=\frac12 ab\sin C$ | 代入正弦定理 | 正弦定理、$S=\frac{abc}{4R}$、海伦公式 |
| 复数乘法 + $i^2=-1$ | 分母实数化 | 复数除法、$z\bar z=|z|^2$ |
| 柱体体积 $V=Sh$ | 祖暅原理 | 锥体 $\frac13 Sh$、球体 $\frac43\pi R^3$ |
| 方差定义 | 展开平方 | 方差简化公式 $s^2=\frac1n\sum x_i^2-\bar x^2$ |
| 概率加法公式 | 交集为空 / 取对立 | 互斥加法、独立乘法、至少一个转化 |
一句话：先证源头，再推结论，用链不用背。